切換電路在日常生活和應(yīng)用科學(xué)和工程的各個領(lǐng)域中無處不在。電源轉(zhuǎn)換器可以視為一個主要示例，因?yàn)樗鼈儙缀跚度肓藥缀跛谐Ｓ玫脑O(shè)備中。即使不需要這樣的系統(tǒng)，也可能有系統(tǒng)，例如汽車控制系統(tǒng)或更簡單的彈跳球。
　　此外，在許多情況下，可以將兩端設(shè)備的電氣特性近似為零件線性（PWL）函數(shù)。這種方法也可以應(yīng)用于控制開關(guān)，在該開關(guān)中，可以使用PWL特征組來描述行為。在本文中，我們提出了一種描述零件線性（PWL）函數(shù)的替代方法，特別是針對電子設(shè)備（EDS）的理想特征。
　　一般而言，動態(tài)系統(tǒng)可以根據(jù)動態(tài)方程右側(cè)的函數(shù)的屬性進(jìn)行分類，也可以根據(jù)狀態(tài)空間軌跡的屬性進(jìn)行分類。一個有趣的系統(tǒng)由“非平滑”動力學(xué)系統(tǒng)表示，其中右側(cè)可以通過不連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)表示。

　　當(dāng)系統(tǒng)的右側(cè)可以在合適的信號中變化（讓我們命名為“σ”），能夠?yàn)橛覀?cè)選擇實(shí)際值時，它們被視為“切換”：

　　開關(guān)系統(tǒng)線性互補(bǔ)模型簡介
　　通常，可以使用同一系統(tǒng)的不同表示形式。但是，每種方法都有其利弊，具體取決于分析的具體目標(biāo)。例如，具有二極管的電子電路可以通過考慮二極管的“沖擊利”指數(shù)特征或作為開關(guān)電路來表示為非線性平滑系統(tǒng)，或者通過將二極管的理想行為近似為“兩態(tài)設(shè)備”（打開）（打開）或閉路），然后需要每個狀態(tài)的函數(shù)f。
　　內(nèi)部切換的存在使得難以確定模式的順序，并且開環(huán)行為也可能具有挑戰(zhàn)性。
　　已經(jīng)提出了不同的數(shù)學(xué)工具來解決這些不同的問題。在下文中，我們提出了一種基于“線性互補(bǔ)問題”（LCP）的方法，以模型開關(guān)系統(tǒng)，特別是電源電路，用于外部控制的開關(guān)和狀態(tài)依賴性開關(guān)。重要的是要注意，如果開關(guān)是由直接控制變量驅(qū)動的，并且如果它們是由狀態(tài)依賴性條件確定的，則可以將其歸類為外部。一些示例將說明該方法如何根據(jù)其靜態(tài)特性來表示內(nèi)部開關(guān)設(shè)備有用。
　　為了獲得電子設(shè)備的互補(bǔ)表示，首先考慮如何為某些常見的PWL特性構(gòu)造互補(bǔ)模型是有用的。
　　線性互補(bǔ)問題
　　作為初步步驟，我們需要引入線性互補(bǔ)問題（LCP）。

　　給定真實(shí)的向量Q和一個真實(shí)的矩陣M，線性互補(bǔ)問題包括找到一個真實(shí)的向量Z，以便：

　　開關(guān)系統(tǒng)線性互補(bǔ)模型簡介
　　不平等現(xiàn)象的位置。

　　定義LCP（Q，M）的條件將更緊湊，使用互補(bǔ)條件：

　　開關(guān)系統(tǒng)線性互補(bǔ)模型簡介
　　然后?是正交性符號，即給定兩個真實(shí)的向量z，w表示符號w z代表z t w = 0（標(biāo)量產(chǎn)物為零）。正交條件意味著對于每對標(biāo)量互補(bǔ)變量，其中至少一個必須為零。
　　眾所周知，當(dāng)M為p-matrix時，LCP（Q，M）對于任何Q都有的解決方案。如果其所有主要未成年人嚴(yán)格呈陽性，則矩陣M被歸類為p-matrix。根據(jù)定義，每個正定矩陣都是p-matrix，盡管相反不正確。因此，如果M是正定的，則可以保證LCP（Q，M）溶液的獨(dú)特性。需要解決方案的獨(dú)特性，以使我們要描述的曲線具有獨(dú)特的代數(shù)表示。
　　分段線性特征的互補(bǔ)表示

　　在許多實(shí)際情況下，近似具有分段線性函數(shù)的電子設(shè)備的真實(shí)特性（λ）很有用。通過示例，將表明，可以以以下形式寫入典型的非降低PWL特征（即只有恒定或增加的段）：

　　開關(guān)系統(tǒng)線性互補(bǔ)模型簡介
　　其中z和w是互補(bǔ)變量的向量（因此B系數(shù)可以是矩陣），并且僅對受控的EDS僅對σ為非零，因?yàn)樗黹_關(guān)控制信號（開關(guān)打開1，開關(guān)OFF為0）。
　　以下示例描述了功能，無論輸入λ和輸出的物理含義如何。

　　作為個示例，請考慮圖1所示的步驟函數(shù)。

　　
　　圖1：“設(shè)置值”步驟功能

　　它被定義為“設(shè)置值”函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)輸入為零時，它可以假設(shè)給定集的任何值。這類函數(shù)是“經(jīng)典”函數(shù)的擴(kuò)展。在公式中，可以寫如下：

　　

　　可以以互補(bǔ)形式表示：

　　該模型可以用簡單的考慮來解釋。如果λ<0，則由于z 1是非負(fù)的，它將是w 2嚴(yán)格的陽性，并且通過使用互補(bǔ)約束，我們得到? =φl。如果λ> 0，則必須嚴(yán)格為z1，然后通過使用互補(bǔ)約束，它將為w1 = 0，這會導(dǎo)致? = z2 +φl=φU。，如果λ= 0，則方程不會對z1施加任何約束，然后對W 1的非負(fù)約束表示，意味著?可以在間隔內(nèi)采用任何值[ φl ; φu ]。
　　步驟函數(shù)的互補(bǔ)模型需要兩對互補(bǔ)變量，即（z 1 ; w 1）和（z 2 ; w 2）。原因是因?yàn)樘卣骶哂袃蓚€突破點(diǎn)（φL ; 0）和（φH ; 0）。

　　圖2中的PWL函數(shù)表示二極管的理想電流特性。擁有一個斷裂點(diǎn)可以用LCP形式表示，只有一對互補(bǔ)變量如下：

　　其中η是λ> λ0的特征的斜率。　　
　　圖2：理想二極管的PWL特征
　　圖3顯示了具有兩個突破點(diǎn)的非凸PWL函數(shù)。此函數(shù)可以代表許多理想化的兩端設(shè)備特性：磁芯的BH曲線（或線性飽和電感），在A中的變量增益，反饋控制系統(tǒng)，依此類推。

　　互補(bǔ)表示形式可以如下重寫：

　　

　　圖3：非凸PWL特性的示例

　　通過指定方程中的參數(shù)，可以描述電路和控制理論中有趣的一些典型功能：使用η0 = η2 = 0，1/η1 = 0，λ0 = 0，我們在圖1，通過為η0選擇η1 = 1和零值； η2和λ0，我們獲得了圖4中描述的飽和函數(shù)的模型。

　

　　圖4：飽和

　　一個示例表示典型的Zener二極管特性，如圖5所示。

　　圖5：理想的齊納二極管特征
　　補(bǔ)充表示由：
　　開關(guān)系統(tǒng)線性互補(bǔ)模型簡介
　　用λ0 < λ1。該模型可以解釋如下：為W 1和W 2非負(fù)問題該問題沒有解決λ<λ0和λ>λ1的解決方案，該解決方案限制了特征的定義集為λ∈[ λ0 ; λ1 ]。當(dāng)λ0 < λ<λ1兩個w 1和w 2都是嚴(yán)格的陽性，這意味著z 1 = z 2 = 0，然后? = 0;當(dāng)λ=λ0時，它是w 1 = 0，并且? = -z1≤0 ;對于λ=λ1 ，它是? = z2≥0。
　　PWL函數(shù)的代數(shù)表示可以具有等效電路。對于具有兩個以上斷點(diǎn)的特征，使用系統(tǒng)的方法來確定互補(bǔ)表示是有用的。可以證明，任何一般的分段線性特性都可以由僅包含電阻器，獨(dú)立源和理想二極管（稱為RDS電路）的等效電路表示。具體而言，可以使用一對互補(bǔ)變量來表示理想的二極管，如圖2中的特征所討論。對于每個斷點(diǎn)，在等效電路中需要一個理想的二極管。一旦派生了等效電路，使用Kirchhoff的定律和代數(shù)操縱即可為PWL特征制定互補(bǔ)表示。