1 Bezier曲線及其原理

　　在數(shù)學(xué)的數(shù)值分析領(lǐng)域中，貝塞爾曲線（Bézier曲線）是電腦圖形學(xué)中相當(dāng)重要的參數(shù)曲線。更高維度的廣泛化貝塞爾曲線就稱作貝塞爾曲面，其中貝塞爾三角是一種特殊的實例。貝塞爾曲線于1962年，由法國工程師皮埃爾·貝塞爾（Pierre Bézier）所廣泛發(fā)表，他運用貝塞爾曲線來為汽車的主體進行設(shè)計。貝塞爾曲線初由Paul de Casteljau于1959年運用de Casteljau算法開發(fā)，以穩(wěn)定數(shù)值的方法求出貝塞爾曲線。

　　Bezier曲線算法是一種直觀、易于調(diào)整、高效率的曲線擬合方法，這種方法能使使用者在工程設(shè)計中比較直觀地意識到所給條件與設(shè)計出的曲線之間的關(guān)系，能方便地控制輸入控制點以改變曲線的形狀。Bezier曲線的形狀由點的位置確定，而且曲線可能并不通過除兩端點外的所有給定點，點數(shù)量不夠或點位置難以處理的情況下，用三次樣條曲線方法也許不能生產(chǎn)光滑曲線。

　　Bezier曲線有不同的數(shù)學(xué)定義形式，如德卡斯特里奧遞歸（deCasteljau）算法、波恩斯坦基（BerNStein）原理等。本文中Bezier曲線的自動繪制方法采用Bernstein原理和參考文獻[2]提出的將中點分割和拐點分割相混合的Bezier曲線降階方法，其中Bezier曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（影響曲線形狀的加權(quán)系數(shù)）來自下式給出的Bernstein原理[1]：

2 軟件的接口及編程

　　Fortran語言具有強大的數(shù)學(xué)計算功能，AutoCAD具有強大的圖形繪制和編輯功能， 兩種軟件均是許多行業(yè)的工程技術(shù)人員所必備的工具，但集成兩種軟件的優(yōu)勢，將兩者有機地結(jié)合起來卻并非易事。目前，F(xiàn)ortran語言與AutoCAD軟件間數(shù)據(jù)通信方式主要有下面兩種[3-4]：

　?。?）將Fortran的計算結(jié)果輸出為DXF格式，利用AutoCAD將其打開即可看到計算的結(jié)果圖像。

　?。?） 通過VB實現(xiàn)Fortran與AutoCAD之間的數(shù)據(jù)通信，VB是通過AutoCAD ActiveX AutomatiON接口來建立與AutoCAD對象之間的聯(lián)系。

　　本文采用種方法，對AutoCAD軟件常用的基本繪圖命令利用Fortran語言編寫相應(yīng)的接口子程序，即建立Fortran與AutoCAD間的接口軟件。通過Fortran語言編程直接讀取離散控制點數(shù)據(jù)，通過對離散控制點進行曲線擬合，生成AutoCAD支持的DXF文件，終利用編程生成的模型在AutoCAD環(huán)境下顯示，使其具有工程技術(shù)人員熟悉的友好用戶界面，并且具有人機交互的功能。下面僅給出了部分程序的清單。

　　繪制多段線的程序：

    SUBROUTINEPLINE(X,Y,K,LY)
    CHARACTER*(*)LY
    DIMENSION(X(K),Y(K))
    NA=0
    WRITE(3,200)NA
    WRITE（3,600）’POLYLINE’
    NA=8
    WRITE(3,200) NA
    WRITE(3,600) LY    
    NA=66
    WRITE(3,600) LY 
    WRITE(3,600) LY
    NA=70
    WRITE(3,200) NA
    WRITE(3,600) LY
    DO I=1,K
    NA=0
    WRITE(3,200) NA
    WRITE(3,600)’VERTEX’
    NA=8
    WRITE(3,200) NA
    WRITE(3,600) LY
    NA=10
    WRITE(3,200) NA     
    WRITE(3,210) Y(I)
    CONTINUE
    NA=0
    WRITE(3,200) NA
    WRITE(3,600)‘SEQEND’
    NA=8
    WRITE(3,200) NA
    WRITE(3,600) LY
    FORMAT(I3)
    FORMAT(F12.6)
    FORMAT(A)
    RETURN
    END

　　計算影響曲線形狀的加權(quán)系數(shù)的程序：

    allocate(j(k+1,n))
    m=n-1
    t=1.0/k
    call factorial(m,a)
    do i=0,1,t
    q=q+1
    do w=0,m
    call factorial(w,b)
    ！求階乘的子程序
    c=m-w
    call factorial(c,d)
    call power(i,w,e)
    ！求冪次的子程序
    f=1.0-i
    call power(f,c,g)
    j(q,w+1)=a/(b*d)*e*g
    end do
    end do

3 實例應(yīng)用

　　本文基于Bezier曲線自動繪制程序，在實例3.2與實例3.3中添加了部分程序，體現(xiàn)Bezier曲線自動繪制程序的價值所在。

3.1 翼型曲線的自動繪制

　　利用所編程序來繪制翼型的外形曲線，表1為某翼型控制點數(shù)據(jù)，由數(shù)據(jù)分析可知該翼型為對稱翼型，通過自編程序，實現(xiàn)其自動繪制，并閉合曲線，繪制后的曲線如圖1所示。

3.2 泵性能曲線的繪制

　　泵段及泵裝置在試驗結(jié)束后便需要進行性能曲線的繪制，而傳統(tǒng)的手工曲線繪制方法速度比較慢，且無法保證要求，目前，泵性能曲線的繪制多基于VB、VC軟件基礎(chǔ)來開發(fā)。本文基于自行編制的Bezier曲線繪制程序來達到性能曲線自動繪制的目的，曲線更加光滑平順、便于控制，能滿足水泵汽蝕和效率的不同要求。通過該程序給出了某泵裝置的流量-揚程（Q-H）曲線（如圖2所示）、流量-效率（Q-η）曲線（如圖3所示），其余的特性曲線均可采用本程序進行繪制。

3.3  流場計算分析

　　以立柱繞流的流場計算為例，在該程序的基礎(chǔ)上編寫有限元分析主體程序。在曲線自動繪制基礎(chǔ)上，利用有限元法生成了立柱繞流的部分流場圖。生成好的DXF格式的模型圖，可以在任何版本的AutoCAD環(huán)境下打開觀察，具有良好的直觀性。圖4給出了部分流場的流速矢量圖。

　　基于AutoCAD平臺，利用Fortran語言編程，實現(xiàn)了Bezier曲線的自動繪制，讓用戶直觀地感受Bezier曲線優(yōu)良的幾何特性。通過本程序的開發(fā)對Bezier曲線的數(shù)學(xué)表達和幾何意義有了深刻的理解和直觀的認識，也對Fortran90和AutoCAD間的鏈接及編程機制、圖形處理功能建立了初步的認識。