作為單片機(jī)程序員來(lái)說(shuō)，在編寫(xiě)程序時(shí)經(jīng)常要檢驗(yàn)程序中的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算結(jié)果是否正確，但手中又沒(méi)有合適的檢驗(yàn)工具，非常麻煩。而一般單片機(jī)是沒(méi)有浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算指令的，必須自行編制相應(yīng)軟件。在進(jìn)行除法計(jì)算時(shí)，通常使用的方法是比較除法，即利用循環(huán)移位和減法操作來(lái)得到24～32位商，效率很低。這里給出一種浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算的實(shí)用快速算法。該方法以數(shù)值計(jì)算中的預(yù)估-修正方法為指導(dǎo)，充分利用了16位單片機(jī)的乘除法功能，很輕易地實(shí)現(xiàn)了浮點(diǎn)數(shù)的除法。

　　1 浮點(diǎn)數(shù)格式

　　IEEE的浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了單（4字節(jié)）、雙（8字節(jié)）和擴(kuò)展（10字節(jié)）三種浮點(diǎn)數(shù)的格式。常用的是單浮點(diǎn)數(shù)，格式如圖1所示。但是這種格式的階碼不在同一個(gè)字節(jié)單元內(nèi)，不易尋址，從而會(huì)影響運(yùn)算速度。

　　通常在單片機(jī)上采用的是一種變形格式的浮點(diǎn)數(shù)，如圖2所示。其中的23位尾數(shù)加上隱含的位1，構(gòu)成一個(gè)定點(diǎn)原碼小數(shù)，即尾數(shù)為小于1大于等于0.5的小數(shù)。

　　2 快速除法的算法原理

　　在16位單片機(jī)中只有16位的乘除法，而浮點(diǎn)數(shù)的（即尾數(shù)的有效位數(shù)）達(dá)24位，因此無(wú)法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令來(lái)實(shí)現(xiàn)24位除法。不過(guò)，如果只進(jìn)行16位的除法必定會(huì)帶來(lái)很大誤差，因此問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何消除這個(gè)誤差，從而達(dá)到要求的。這其實(shí)就是通常數(shù)值計(jì)算中所采用的預(yù)估-修正方法。

　　假設(shè)兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)經(jīng)過(guò)預(yù)處理后，被除數(shù)和除數(shù)尾數(shù)擴(kuò)展為32位（末8位為0）分別放入X和Y中。鄰YL為Y的低16位，并記YH=Y-YL。顯然YH≈Y，X/Y與Y/YH相差不多：

　　可見(jiàn)只需要在X/YH的基礎(chǔ)上再乘以一個(gè)修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的校準(zhǔn)值。不難證明這個(gè)值已經(jīng)達(dá)到了24位的要求。事實(shí)上，相對(duì)誤差滿足：

　　這說(shuō)明這個(gè)校準(zhǔn)值完全可以作為終的結(jié)果。

　　3 算法的具體實(shí)現(xiàn)

　　在具體實(shí)現(xiàn)本算法時(shí)，主要經(jīng)過(guò)下列步驟：

　　這里的YH雖仍是32位，但其低16位已為0，計(jì)算時(shí)可以將它視為16位數(shù)，這不會(huì)影響計(jì)算。通過(guò)兩次16位除法，就可得到的32位結(jié)果。例如，計(jì)算Q0時(shí)，次除法，X除以YH的高16位，得到的商為Q0的高16位，而16位余數(shù)末尾添0成32位，再除以YH的高16位，得到Q0的低16位（余數(shù)舍去）。由此得到了32位的Q0。

　　在具體運(yùn)算中，X應(yīng)選除以4（X左移2位），以保證Q0不會(huì)溢出（YH取高16位）：

　　由于X為32位（末8位為0），這一操作不影響有效數(shù)字。而，不存在溢出的問(wèn)題。計(jì)算校準(zhǔn)值Q時(shí)，有。

　　在計(jì)算Q0'、Q1時(shí)，均進(jìn)行了兩次16位除法，使得Q0'、Q1均為的32位，保證了計(jì)算過(guò)程中的，減小了累積誤差。對(duì)于YL=0即除數(shù)只有16位有效數(shù)字的特殊情況，直接有Q1=1，還能省去兩次16位除法。

　　在計(jì)算Q時(shí)，則通過(guò)3次16位乘法實(shí)現(xiàn)了32位乘法，取結(jié)果的高32位，即得Q。

　　整個(gè)算法至多只須用4次除法、3次乘法和5次加法，就求得了浮點(diǎn)數(shù)商的尾數(shù)，可見(jiàn)計(jì)算效率是很高的，保證了運(yùn)算速度。

　　浮點(diǎn)數(shù)除法流程圖如圖3所示。

　　4 程序源代碼

　　限于篇幅，只給出源代碼中的關(guān)鍵部分，即有效數(shù)字的計(jì)算部分。

　　代碼到這里為止，浮點(diǎn)數(shù)商的有效數(shù)字已經(jīng)全部求出。只要再執(zhí)行一些調(diào)整浮點(diǎn)數(shù)階碼的操作，就可以得到終結(jié)果。

　　在作者開(kāi)發(fā)的一個(gè)80C196KC單片機(jī)系統(tǒng)中，涉及到了二進(jìn)制-十進(jìn)制數(shù)制轉(zhuǎn)換、分段線性插值、數(shù)字濾波等大量浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算，都是靠加減乘除等底層函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

　　此外，本算法思路清晰，因此很容易加以推廣。例如，為了得到更高的，可取修正因子：

　　則相對(duì)誤差，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制，有效數(shù)字高達(dá)14位。