摘要：分形圖像壓縮編碼是近年來產(chǎn)生的新的圖像壓縮編碼技術(shù)，由于其具有極高的壓縮比而獲得廣泛的關(guān)注。主要討論了圖像小波域的去噪問題以及如何將小波域的去噪與分形圖像壓縮方法結(jié)合起來，以獲得良好的編碼效率和圖像質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：分形編碼 圖像壓縮 噪聲

分形的概念是由數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot于1975年提出的，他把分形定義為“一種由許多個與整體有某種相似性的局部所構(gòu)成的形體”。分形概念的提出及分形幾何學(xué)的創(chuàng)立為描述客觀世界提供了更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。圖形學(xué)是幾何學(xué)的延伸與發(fā)展，分形模型研究成果的積累形成了新的圖像學(xué)分支——分形圖像學(xué)。而基于分形的圖像編碼方法實質(zhì)是對圖像中一個或多個相對大的部分施行壓縮變換來逼近圖像的每一部分。1990年，A.Jacquin提出了全自動的可行的分形壓縮編碼方法，由于其可以獲得極高的壓縮比而得到廣泛關(guān)注。在實際的圖像編碼過程中，原始圖像經(jīng)常被噪聲（常見的是高斯白噪聲）污染。由于噪聲的存在，一方面使得圖像編碼的時間延長，另一方面，降低了圖像的信噪比，圖像質(zhì)量明顯下降。因此，筆者試圖尋找一種方法，在不影響圖像壓縮比的前提下去噪，從而提高編碼效率和圖像質(zhì)量。

1 分形圖像壓縮編碼方式

1.1 拼接定理（Collage Theorem）

拼接定理是分形圖像壓縮技術(shù)的。

設(shè){RT：wi,i=1,2,…，p}是T維的收縮仿射變換集合，即IFS、R為實數(shù)集。給定V∈RT,ε>0，如果IFS中的收縮因子s∈(0,1),且滿足：

h(V,W(V))<ε

則有：h(V,A)<ε/(1-ε)

其中，A為IFS的吸引子，h(A,B)為Hausdorff距離。拼按定理給出了數(shù)集V與吸引了IFS之間逼近程度的一個上限值，即拼接誤差的上限值。

拼接定理提供了用IFS進(jìn)行圖像壓縮的理論依據(jù)。對于一般的灰度圖像，可認(rèn)為是一張原始灰度曲面（R3空間上的一個緊子集）進(jìn)行抽樣和量化得到的。盡管無法使原理圖像（V）成為某一個迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS的吸引子，但是如果能找到一組收縮仿射變換wi,i=1,2,…，p,使與V充分地接近，那么由拼接定理可知V是該IFS（RT：wi,i=1,2,…，p）對應(yīng)吸引子的良好逼近。

在利用收縮仿射變換{RT：wi,i=1,2,…p}結(jié)圖像進(jìn)行解壓縮時，迭代過程與初始條件無關(guān)。也就是說，對任意給定的初始圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行多次迭代，就可以完成對原始圖像的重構(gòu)。

1.2 分形圖像壓縮編碼的實現(xiàn)

所謂局部IFS（LIFS）是指其變換的定義域由原來的整個區(qū)域放寬為全部區(qū)域的某些子集。通過將理論從全局?jǐn)U展到局部，可以得到一種全自動的分形壓縮方案，Jacquin方法的實質(zhì)是固定方塊定義域塊的大小并限制仿射變換為一定的形式，然后搜索圖像錄找與定義域塊相匹配的值域塊（它的大小是定義域塊的4倍），搜索中要配合Jacquin提出的八種對稱變換算子對值域塊進(jìn)行變換。

編碼壓縮過程：把原始圖像分成互不重疊的定義域塊（Range塊），這些塊能將原始圖像全部覆蓋，每一個Range塊大小均為B×B；每一Domain埠的大小均為D×D，且通常D=2B。為使壓縮后重構(gòu)圖像的質(zhì)量更好，相鄰 的Domain塊之間在水平及垂直方向均有重疊，水平及垂直方向上位移量為B。依次對每一個Domain塊中相鄰的4個灰度值求平均，于是每一個大小為D×D（2B×2B）Domain塊就變成了大小為B×B的Sub_Domain塊。之后利用二乘法，并配合八種對稱變換算子，將收縮后的Domain塊（Sub_Domain塊）與Range塊進(jìn)行匹配運算：

若計算出的MSE小于給定誤差，則認(rèn)為匹配成功，否則繼續(xù)匹配，在找到值域塊及仿射變換后，需要存儲其參數(shù)以便傳輸。這些參數(shù)包括：匹配成功的Domain塊塊號、Jacquin變換算子的編號以及比例因子S、偏移量O。

解碼重構(gòu)過程：從任意的初始圖像開始（當(dāng)然該圖的大小要與原圖一致），和原始圖像（如所示）一樣，對任意圖像也可分為相同大小的定義域塊和值域塊，根據(jù)傳輸?shù)膮?shù)，用值域塊對定義域塊進(jìn)行逼近，當(dāng)全部的定義域塊都被逼近后，稱為完成迭代，所得圖像作為下迭代的初始圖像，一直迭代下去直至重構(gòu)圖像不再隨迭代發(fā)生顯著變化為止，重構(gòu)結(jié)束。

2 對噪聲圖像進(jìn)行分形壓縮編碼的結(jié)果

以256×256的Lena灰度圖像為例（噪聲均為零均值的高斯白噪聲），在對圖像進(jìn)行分割時，取B=4,D=8。表1給出了用分形壓縮算法對噪聲圖像編碼的結(jié)果。和給出噪聲方差為50時的噪聲圖像和分形壓縮圖像。
從表1中可以明顯看出，當(dāng)圖像被高斯白噪聲污染后，分形編碼算法的性能明顯降低，一是編碼時間大大增加，而且噪聲方差越大，編碼時間越長，這主要是因為圖像被污染的程度越大，圖像信息損害的就越厲害，圖像的分形特性遭到破壞，在編碼過程中尋找匹配塊的難度就越大、時間越久，分形算法的編碼效率大大降低。二是重構(gòu)圖像信噪比降低，圖像質(zhì)量嚴(yán)重惡化，尤其是方差增大時，圖像質(zhì)量惡化更嚴(yán)重，如方差為200時，重構(gòu)圖像的信噪比降低了24.36（如所示），圖像的一些信息特征已經(jīng)不存在了。因此要提高含噪聲圖像的編碼效率和信噪比，就必須對圖像先進(jìn)行去噪處理，同時要保證圖像的分形特點。由于小波已被廣泛地用于圖像處理并獲得良好的效果，所以利用小波方波對圖像進(jìn)行去噪處理。
表1 噪聲圖像分形壓縮編碼結(jié)果

3 圖像小波域的去噪方法

小波分析用于圖像去噪處理，主要是針對圖像信號與噪聲信號經(jīng)小波變換后在不同的分辨率呈現(xiàn)不同的規(guī)律，在不同的分辨率下，設(shè)定閾值門限，調(diào)整小波系數(shù)，達(dá)到圖像去噪目的。

在小波系數(shù)進(jìn)行取舍之前，實際上按照一定準(zhǔn)則（或者閾值化）將小波系數(shù)劃分為兩類：一類是重要的、規(guī)則的小波系數(shù)；另一類是被看作非重要的或者受噪聲干擾較大的小波系數(shù)。通常以小波系數(shù)的作為小波系數(shù)的分類單元。小波系數(shù)趨向于零，意味道著小波系數(shù)所包含的信息量并且強烈地受噪聲干擾。常用的閾值化去噪方法：一是默認(rèn)閾值消噪處理，即在消噪處理過程中采用程序中設(shè)定的閾值，對分解信號進(jìn)行分類處理，以求消除噪聲；二是給定軟（或硬）閾值消噪處理，閾值通過某一個經(jīng)驗公式獲得，該閾值比默認(rèn)的閾值去噪效果更有說服力。

對于“軟閾值化”，小于閾值δ的小波系數(shù)數(shù)值用零代替；大于閾值δ的小波系數(shù)數(shù)值用δ來縮減。如下所示：

式中，W表示小波系數(shù)的數(shù)值；sgn(·)是符號函數(shù)，當(dāng)數(shù)值大于零，符號為正，反之符號為負(fù)。對于“硬閾值化”，僅僅保留大于閾值δ的小波系數(shù)，并且被保留系數(shù)與系數(shù)相同（沒有被縮減），如下式所示：

兩種方法各有差異，前者具有連續(xù)性，在數(shù)學(xué)上容易處理，后者更接近實際應(yīng)用。

閾值化處理的關(guān)鍵在于選擇合適的并值δ。如果閾值門太小，處理后的信號仍有噪聲存在；閾值太大，重要的圖像特征將被濾掉，引起偏差。大多數(shù)閾值的選取過程是針對一組小波系數(shù)，即根據(jù)本組小波系數(shù)的統(tǒng)計特性，計算出一個閾值δ。Donoho等提出了一種典型的閾值選取方式，從理論上說明閾值與噪聲的方差成正比，為：

其中，Nj表示第j層子帶上小波系數(shù)的個數(shù)。

通過對信號的收縮閾值處理，能較好去除噪聲，提高重構(gòu)圖像的信噪比和圖像的編碼效率。

4 去噪聲圖像的分形壓縮編碼結(jié)果及討論

為了便于對比，這里所采用的圖像仍然是256×256的Lena灰度圖像，分解所用的濾波器是雙正交B97濾波器，分解級數(shù)為4。實際均在Pentium 4/1.5、RAM128MB的機(jī)器上編譯完成。和是消噪圖像（原噪聲圖像方差=100）和消噪圖像分形壓縮結(jié)果。

經(jīng)小波域去噪的圖像分形壓縮編碼性能明顯提高，一是體現(xiàn)在編碼時間上，去噪圖像的編碼時間與有噪圖像相比大大縮短，效率大大提高，分形壓縮方法本身特點就是壓縮時間長，因此這種效率的提高是非常可觀的；二是圖像質(zhì)量明顯好轉(zhuǎn)，信噪比有較大的提高，保證了分形壓縮編碼的質(zhì)量（如所示）。以上實驗和結(jié)論充分說明了圖像小波域的去噪方法能夠?qū)υ肼晥D像進(jìn)行良好的消噪處理，保證了分形壓縮編碼方法的編碼效率和圖像質(zhì)量。