圖 1經(jīng)典單輸入、單輸出反饋環(huán)路配置。

經(jīng)典反饋環(huán)路穩(wěn)定性

圖 1 是該類單輸入、單輸出反饋環(huán)路的圖。該環(huán)路的整體電路增益（也稱為閉環(huán)增益）計(jì)算如下：

從檢查來(lái)看，

V out (s) = V int (s)G(s) – V out (s) K(s) G(s)

重新安排，

 公式1

如果分母中的項(xiàng)為零，則電路會(huì)不穩(wěn)定，因?yàn)?V out / V in趨于無(wú)窮大。因此，當(dāng) G(s) 乘以 K(s) 等于負(fù)一時(shí)，電路不穩(wěn)定。由于 G 和 K 都是 s（復(fù)頻率）的函數(shù)，因此，如果閉環(huán)增益的幅度超過(guò) 0 dB（增益為 1），且當(dāng)相位(G(s) K(s)) 的負(fù)值等于或大于-180 度。

相位裕度定義為幅度為零 dB 的頻率處的（180 度 + 相位響應(yīng)）。設(shè)計(jì)為至少 30 度的相位裕度通常是設(shè)計(jì)人員可接受的最小值。如果相位裕度為 30 度，電路可能會(huì)在達(dá)到設(shè)定點(diǎn)之前振鈴幾個(gè)周期。 （此外，組件變化可能會(huì)降低實(shí)際相位裕度。）90 度的相位裕度通常是過(guò)阻尼的（需要很長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到設(shè)定點(diǎn)）。 45 至 75 度的相位裕度通常可以提供快速響應(yīng)，而不會(huì)產(chǎn)生太多振鈴。

運(yùn)算放大器電路

考慮圖 2 中的標(biāo)準(zhǔn)同相運(yùn)算放大器配置。

 

圖 2 同相運(yùn)算放大器配置。

假設(shè)運(yùn)算放大器具有非常高的輸入阻抗（無(wú)輸入漏電流）和非常低的輸出阻抗（與 Z f相比）?？梢酝茖?dǎo)出傳遞函數(shù)：

從運(yùn)算放大器本身的方程開(kāi)始：

接下來(lái)，寫出運(yùn)算放大器反相輸入的節(jié)點(diǎn)方程（無(wú)漏電流）：

將 K(s) 定義為：

現(xiàn)在將 K(s) 和 V neg的表達(dá)式代入運(yùn)算放大器方程：

 公式2

一項(xiàng)快速檢查是考慮 Av(s) 較大時(shí)的低頻情況。分母變?yōu)楹?jiǎn)單的 K(s) A v (s)，V out /V in大約為 1/K(s) 或熟悉的 1 + Z f /Z in。

請(qǐng)注意，方程 1 和方程 2 具有相同的形式。我們可以將基本同相運(yùn)算放大器配置重新繪制為圖 3 所示。

 

圖 3 用于同相運(yùn)算放大器配置的經(jīng)典單輸入、單輸出反饋環(huán)路配置。

同樣，如果 (A v Z in / (Z in + Z f ))的相位在該項(xiàng)的幅度為零 dB 的頻率處小于 -180 度，則該電路是穩(wěn)定的。使用圖 4，您可以通過(guò)斷開(kāi) Z in和 Z f與運(yùn)算放大器反相輸入的連接來(lái)可視化開(kāi)環(huán)增益。將反相輸入接地，并在 Z in和 Z f的連接處（現(xiàn)在是分壓器）獲取輸出 (V fb )。通過(guò)檢查，開(kāi)環(huán)增益（再次）為：

 

圖 4 針對(duì)同相運(yùn)算放大器配置打開(kāi)環(huán)路。

現(xiàn)在考慮圖 5 的反相電路。

 

圖 5 基本反相運(yùn)算放大器配置。

可以采用與圖 2 的同相電路類似的方式導(dǎo)出閉環(huán)增益，結(jié)果為：

 公式3

其中 K(s) 仍定義為：

低頻增益為 1 ” 1/K(s) 或熟悉的“Z f /Zin”。與同相運(yùn)算放大器電路的唯一區(qū)別是分子中的 (K(s) ” 1) 項(xiàng)。在經(jīng)典的反饋環(huán)路配置中，這相當(dāng)于在輸入處添加一個(gè)模塊，如圖 6 所示。請(qǐng)注意，L(s) 對(duì)反饋環(huán)路本身的穩(wěn)定性沒(méi)有任何影響。

 

圖 6 帶有輸入衰減模塊的經(jīng)典反饋環(huán)路。

更重要的是，基本的同相和反相運(yùn)算放大器配置具有相同的穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)！在這些電路的最簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)中，Z in和 Z f都是電阻器（R in和 R f）。為了穩(wěn)定性，只需考慮運(yùn)算放大器本身的增益，按增益 (R in / (R in + R f )) 放大和縮小。一些運(yùn)算放大器需要大于一（例如十）的最小增益才能穩(wěn)定。對(duì)于這些運(yùn)算放大器，運(yùn)算放大器本身的相位裕度在單位增益下要么接近于零，要么為負(fù)值。然而，如果頻率比運(yùn)算放大器本身的零 dB 點(diǎn)低十倍，相位裕度可能是可以接受的。許多其他現(xiàn)代運(yùn)算放大器都是“單位增益穩(wěn)定”的。單位增益穩(wěn)定的運(yùn)算放大器在緩沖器配置中具有足夠的相位裕度（下圖 7）。

 

圖 7 運(yùn)算放大器緩沖電路。

一個(gè)非直觀的結(jié)果是，當(dāng)電路增益減小到單位以下時(shí)，對(duì)于反相和非反相電路配置，K(s) 都接近 1。在增益為 1 的反相配置中，Z f = Z in，且 K 為 1/2。如果增益為二分之一，則 K 為 1/3。隨著 K 減小，電路帶寬接近緩沖器配置中運(yùn)算放大器本身的帶寬。

考慮單位增益穩(wěn)定運(yùn)算放大器，其開(kāi)環(huán)增益如下圖 8 所示。在此圖中，增益在大約 175kHz 處跨越 0dB。在 175kHz 時(shí)，該圖顯示相位裕度約為 43 度。 （如果該運(yùn)算放大器在緩沖器配置中運(yùn)行，則其相位裕度將為 43 度。）

如果運(yùn)算放大器用于增益為 1 的反相配置，K 將為 0.5 或 -6dB (20 log 10 (0.5))。此反相配置中的開(kāi)環(huán)增益將是運(yùn)算放大器本身的開(kāi)環(huán)增益向下移動(dòng) 6dB。開(kāi)環(huán)增益的 0dB 點(diǎn)約為 90kHz，相位裕度約為 63 度。

 

圖 8 Linear Tech LT1462 的開(kāi)環(huán)增益（該圖顯示相位裕度而不是相移）。

作為對(duì)比，請(qǐng)考慮 LT1886（參見(jiàn)下面的圖 9），它被指定為僅當(dāng)閉環(huán)增益大于或等于 10 時(shí)才穩(wěn)定。當(dāng)反相增益為 10 時(shí)，K = 1/9 或 -19dB (20 log 10 ( 1/9））。從圖中可以看出，0dB 點(diǎn)大約在 300MHz 處。將運(yùn)放的開(kāi)環(huán)增益曲線降低 19dB，將 0dB 點(diǎn)降低至約 60MHz。在 60MHz 時(shí)，相位裕度變?yōu)榧s 60 度，而不是 -60 度。

 

圖 9 Linear Tech LT1886 的開(kāi)環(huán)增益（該圖顯示相位裕度而不是相移）。

 

圖 10 積分器/微分器電路。

作為示例，請(qǐng)考慮上面圖 10 中所示的積分器/微分器電路?？梢酝茖?dǎo)出輸入阻抗和反饋?zhàn)杩挂约?K(s)：

和

公式 5 K(s) 包括分子中的低頻電阻衰減（當(dāng)電容器開(kāi)路時(shí)）以及零點(diǎn)和極點(diǎn)。

一般來(lái)說(shuō)，可以直接從數(shù)據(jù)表中確定運(yùn)算放大器的直流增益、極點(diǎn)和零點(diǎn)，也可以從開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)中推斷出它們。例如，運(yùn)算放大器增益A v (s) 可能具有以下形式（其中 DC增益很大）：

公式 6 將 K(s) 乘以 Av(s) 可得出開(kāi)環(huán)增益。閉環(huán)增益可使用上面的公式 3（結(jié)合公式 5 和公式 6）計(jì)算。 K(s)和A v (s)的分子(下面縮寫為num)和分母(下面縮寫為den)是s的多項(xiàng)式。因此方程 3 可以重寫為：

請(qǐng)注意，在低頻（s 很?。r(shí)，閉環(huán)增益變?yōu)?(α ” 1)/α，可以減小到中普遍存在的 R f /R 。人們需要插入一些實(shí)際值來(lái)評(píng)估該電路的穩(wěn)定性（或不穩(wěn)定性）。重點(diǎn)是展示如何建立具有復(fù)雜輸入和/或反饋?zhàn)杩沟拈_(kāi)環(huán)和閉環(huán)方程。 Matlab 是可用于繪制開(kāi)環(huán)和閉環(huán)增益圖的幾個(gè)程序之一。