在本教程中，我們介紹了最基本、最重要的電路定律之一。這些法律由德國醫(yī)生古斯塔夫·基爾霍夫 (Gustav Kirchoff) 于 1845 年命名并制定。與許多物理定律一樣，基爾霍夫電路定律(KCL) 相對容易理解，并且是從能量守恒定律的觀察中得出的，這可能是物理學(xué)中最古老和最基本的原理之一。盡管如此，KCL 可能簡單且易于理解，它們?nèi)匀皇请娐贩治鲋行枰莆盏幕竟ぞ?，并且至今仍被廣泛使用。KCL 由與定義電路能量的物理值相關(guān)的兩個不同定律組成：電流和電壓。下面我們分別分兩節(jié)介紹基爾霍夫電流定律和電壓定律。在這些部分之前，值得在第一部分中介紹使用 KCL 定律的框架以及與該原則相關(guān)的許多定義。第三部分展示了如何將 KCL 應(yīng)用到實際電路并解決未知參數(shù)問題的示例。最后，最后一節(jié)簡要介紹了 KCL 對于某些特定情況的限制。
　　框架和定義　　應(yīng)用基爾霍夫定律的框架是電路，它由兩個極與閉環(huán)配置中的組件中間連接的電源或發(fā)電機組成。電路根據(jù)集總元件模型繪制，該模型假設(shè)元件為理想元件，相關(guān)表示如下圖 1所示：

　　圖 1：電路的集總元件模型
　　我們可以提供一些有關(guān)電路拓撲的具體細節(jié)。直線是電路不同元件之間的理想連接/電線，這意味著它們不呈現(xiàn)電阻或電抗行為，因此不存在功率損耗或相移現(xiàn)象。電源為電路提供電源，電源由電壓和電流信號（直流或交流）組成。這些元件是無源的，它們由電阻器、電容器和電感器的組合組成。它們可以并聯(lián)連接（如圖1所示），也可以串聯(lián)連接。本教程不考慮放大器等有源組件，因為它們與外部電源相關(guān)。用電線連接兩端的一組元件稱為分支。為了稍后充分理解基爾霍夫定律，兩個重要的拓撲定義非常重要：節(jié)點和環(huán)。節(jié)點代表分支之間的連接點，它們在圖 1中用藍色圓圈突出顯示。上圖中的紅色圓圈箭頭突出顯示了循環(huán)，它表示分支的閉合路徑。
　　基爾霍夫電流定律　　電流定律也稱為節(jié)點定律或結(jié)點定律，規(guī)定在節(jié)點處相遇的電流的代數(shù)和等于零?？梢杂眠B接三個分支的節(jié)點來說明一個簡單的示例：

　　圖2：三個分支的節(jié)點連接
　　因此，該定律規(guī)定進入節(jié)點的電流總和等于離開結(jié)點的電流。在我們的示例中，這句話在數(shù)學(xué)上翻譯為I 1 +I 2 =I 3 或I 1 +I 2 -I 3 =0，當(dāng)前 I 3為負，因為它正在退出節(jié)點。在一般情況下，N個分支的節(jié)點結(jié)點的電流被標記為I 1，I 2，…，I N滿足以下方程1：
　　eq 1：基爾霍夫電流定律
　　如果電流 I k 進入節(jié)點，則符號函數(shù)sgn等于+1 ；如果存在，則符號函數(shù) sgn等于-1 。節(jié)點定律是根據(jù)封閉系統(tǒng)中電荷不變的觀察直接寫出的。這種假設(shè)也稱為電荷守恒定律。 在物理學(xué)中，原理是指沒有經(jīng)驗證明無效但尚未被證明的觀察結(jié)果，相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的假設(shè)。
　　基爾霍夫電壓定律　　電壓定律也稱為環(huán)路規(guī)則，它與節(jié)點規(guī)則非常相似，但適用于環(huán)路而不是節(jié)點。第二定律指出電路環(huán)路中電壓的代數(shù)和為零?？梢杂脼榇?lián) RC 濾波器供電的直流電源來說明一個簡單的示例：

　　圖 3：具有三種不同電壓的環(huán)路　　電壓的符號由箭頭的方向決定，通常認為源為正，因此順時針箭頭為正，逆時針箭頭為負。因此，基爾霍夫電壓定律指出V S =V R +V C或V S -V R -V C =0。對于具有 N 次電壓 V 1、V 2、…、V N生成和下降的環(huán)路，滿足等式2 ：

　　eq 2：基爾霍夫電壓定律
　　當(dāng)產(chǎn)生電壓時（我們示例中的源），符號函數(shù) sgn 等于+1 ；當(dāng)觀察到電壓降時，符號函數(shù) sgn 等于-1 （使用圖 3中的無源組件）。
　　倫敦大學(xué)學(xué)院申請　　在本節(jié)中，我們將展示使用 KCL 可以解決的典型問題的解決過程?？紤]圖 4所示配置中與電阻器 R 1、R 2和 R 3連接的三個源 S 1、S 2和 S 3：

　　圖 4：電路配置示例　　電源是直流且理想的，這意味著它們不存在內(nèi)阻。我們?nèi) 1 = 4 V，S 2 = 3 V，S 3 = 10 V，并且R 1 = 3 Ω，R 2 = 2 Ω，R 3 = 1 Ω。根據(jù)基爾霍夫現(xiàn)行定律，我們可以為節(jié)點 1 和 2 寫出以下等式：節(jié)點1： I 1 =I 2 +I 3節(jié)點2： I 2 +I 3 =I 1與節(jié)點1的方程類似根據(jù)基爾霍夫電壓定律，我們寫出循環(huán) 1 和循環(huán) 2 的等式：循環(huán)1： S 1 =S 2 +R 2 ×I 2 +R 1 ×I 1循環(huán)2： S 2 +R 2 ×I 2 =S 3 +R 3 ×I 3我們可以以不同的方式編寫這些方程，以獲得以下具有 3 個未知參數(shù) I 1、I 2和 I 3 的3 個方程組：

　　eq 3：KCL 線性方程組
　　該方程組可以用消除法求解，即在第二行（L2）中將 I 1替換為 I 2 +I 3 ，并通過加法 R 3 ×L2+R 1 ×L3消除項 I 3 。我們直接找到I 2 =4.2 A，然后我們可以通過替換 L3 中的 I 2來找到 I 3，得到I 3 =1.4 A，最后我們得到I 1 =I 2 +I 3 =5.6 A。
　　KCL 的局限性
　　在第一部分中，我們已經(jīng)了解了 KCL 應(yīng)用的框架，但電路還必須遵守一些其他更微妙的條件。我們在本節(jié)中簡要強調(diào)了 KCL 有效的進一步條件。第一個條件稱為準靜態(tài)近似，即信號的傳播時間與信號的周期相比必須可以忽略不計，這給出了電路尺寸的條件。例如，考慮200 kHz (T=5 μs) 的交流信號，如果接收器位于電路中D=10 cm處，則傳播時間將為 Δt=D/c=0.33 ns，其中 c 為速度光。在這種情況下，Δt<<T，準靜態(tài)近似有效并且遵守應(yīng)用 KCL 的條件。然而，如果接收器位于D=1 km處，則傳播時間變?yōu)?Δt=3.3 μs，并且不遵守不等式 Δt<<T，因此近似無效，并且 KCL 無法應(yīng)用于電路。 在準靜態(tài)近似中，源的任何變化都被認為會立即傳播到電路中的任何點，從而避免了可能使 KCL 失效的延遲效應(yīng)。這個肯定可以用麥克斯韋-安培方程來證明，其中當(dāng)準靜態(tài)近似有效時可以消除變分項，然后可以用格林-奧斯特羅格拉茨基定理來證明基爾霍夫電流定律。賦予 KCL 有效性的另一個常見條件是電路回路上的磁通量的變化必須可以忽略不計。根據(jù)感應(yīng)定律，磁通量的變化會在電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而產(chǎn)生感應(yīng)電壓。 磁通的變化引入了一個新的電壓項，該電壓項不是由元件或電路的拓撲結(jié)構(gòu)解釋的，而是來自外部源，從而使環(huán)路規(guī)則失效。
　　結(jié)論
　　KCL 是電子學(xué)的基本定律，可應(yīng)用于由環(huán)路和節(jié)點構(gòu)成的電路。這些拓撲定義以及其他拓撲定義在本文的第一部分中介紹，該部分提供了應(yīng)用 KCL 的框架。基爾霍夫定律由電流定律和電壓定律組成，反映了電路中能量守恒定律。電流定律解釋了電荷守恒，它指出節(jié)點中電流的代數(shù)和等于零。電壓定律規(guī)定環(huán)路中電壓的代數(shù)和為零。進一步的章節(jié)介紹了使用這兩個定律可以通過求解線性方程組來解決典型的電子問題。最后，我們在最后一節(jié)中簡要介紹了為了使 KCL 有效，必須考慮有關(guān)電路尺寸和外部磁通量存在的一些微妙條件。